a, - Thay m = \(\frac{1}{2}\) vào phương trình ( d ) ta được :
\(2\left(\frac{1}{2}-1\right)x+\left(\frac{1}{2}+2\right)y=2\)
=> \(-x+\frac{5}{2}y=2\)
- TXĐ : R ( \(y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}\) )
+, Cho x = 0 => y = \(\frac{4}{5}\) => Điểm \(\left(0,\frac{4}{5}\right)\)
+, Cho y = 0 => x = -2 => Điểm ( -2 ; 0 )
- Đồ thị hàm số ( d ) tại \(m=\frac{1}{2}\)
b, Ta có : \(2\left(m-1\right)x+\left(m+2\right)y=2\)
- Gỉa sử đồ thì hàm số đi qua điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\forall m\)
Ta được : \(2\left(m-1\right)x_0+\left(m+2\right)y_0=2\)
=> \(2mx_0-2x_0+my_0+2y_0=2\)
=> \(2mx_0+my_0+2y_0-2x_0-2=0\)
=> \(m\left(2x_0+y_0\right)+2y_0-2x_0-2=0\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2x_0+y_0=0\\2x_0-2y_0=-2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\frac{1}{3}\\y_0=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
c, Ta có : \(2\left(m-1\right)x+\left(m+2\right)y=2\) ( TXĐ : R )
+, Cho x = 0 => y = \(\frac{2}{m+2}\) => Điểm \(\left(0,\frac{2}{m+2}\right)\)
+, Cho y = 0 => \(x=\frac{1}{m-1}\) => Điểm \(\left(\frac{1}{m-1},0\right)\)
- Đồ thị hàm số ( tượng trưng :))
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|\frac{2}{m+2}\right|=\frac{2}{\left|m+2\right|}\\OB=\left|\frac{1}{m-1}\right|=\frac{1}{\left|m-1\right|}\end{matrix}\right.\)
- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAB vuông tại O, đường cao OH :
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\)
=> \(\frac{1}{d^2}=\frac{1}{\left(\frac{2}{m+2}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{m-1}\right)^2}=\frac{1}{\frac{4}{m^2+4m+4}}+\frac{1}{\frac{1}{m^2-2m+1}}\)
=> \(\frac{1}{d^2}=\frac{m^2+4m+4}{4}+m^2-2m+1\)
=> \(\frac{1}{d^2}=\frac{m^2+4m+4+4m^2-8m+4}{4}=\frac{5m^2-4m+8}{4}\)
=> \(d^2=\frac{4}{5m^2-4m+8}\)
=> \(d=\frac{2}{\sqrt{5m^2-4m+8}}=\frac{2}{\sqrt{5m^2-\frac{2.m\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}+\frac{36}{5}}}\)
=> \(d=\frac{2}{\sqrt{\left(m\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+\frac{36}{5}}}\)
Ta thấy : \(\left(m\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2\ge0\)
=> \(2:\sqrt{\left(m\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+\frac{36}{5}}\le2:\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Vậy \(Max_d=\frac{\sqrt{5}}{3}\) <=> \(m=\frac{2}{5}\)
