Ta có: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) và \(a+b+c=1.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}.\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x^2}=\frac{b^2}{y^2}=\frac{c^2}{z^2}=\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\) (1)
Lại áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a^2}{x^2}=\frac{b^2}{y^2}=\frac{c^2}{z^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow2.\left(xy+yz+xz\right)=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
