Tam giác đồng dạng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Viiz Bii

Cho đoạn thẳng AB cố định. O là trung điểm của AB trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa AB vẽ hai tai Ax và By vuông góc với AB tại A và B. Trên Ax lấy C bất kì, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D. Chứng minh rằng:

a, AC + BD = CD ( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của CD)

b, CO và DO là phân giác của góc ACD và BDC.

c, Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD. Chứng minh: Tam giác AHB vuông.

d, Tam giác AHB đồng dạng với tam giác COD.

Ngô Kim Tuyền
27 tháng 7 2018 lúc 21:53

A B O C D I H x y

a) Ta có: AC \(\perp AB\left(gt\right)\left(1\right)\)

\(BD\perp AB\left(gt\right)\left(2\right)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AC\) // BD

Nên tứ giác ABDC là hình thang

Mà O là trung điểm của AB (gt) (3)

Và I là trung điểm của CD (gt) (4)

Từ (3), (4) \(\Rightarrow OI\) là đường trung bình của hình thang ABDC (5)

\(\Rightarrow OI=\dfrac{AC+BD}{2}\) (6)

Mà OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD của \(\Delta COD\) vuông tại O (7)

\(\Rightarrow OI=\dfrac{CD}{2}\left(8\right)\)

Từ (6), (8) \(\Rightarrow AC+BD=CD\)

b) Từ (5) \(\Rightarrow OI\)// AC

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACO}=\widehat{IOC}\) (2 góc so le trong) (9)

Ta lại có: IC = ID = \(\dfrac{CD}{2}\)(10)

Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=IC\)

\(\Rightarrow\Delta OIC\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IOC}=\widehat{ICO}\) (11)

Từ (9), (11) \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ICO}\) (12)

\(\Rightarrow\) CO là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\)

Tương tự từ (5) \(\Rightarrow\) OI // BD

\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{BDO}\) (2 góc so le trong) (13)

Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=ID\)

\(\Rightarrow\Delta OID\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{ODI}\) (14)

Từ (13), (14) \(\Rightarrow\widehat{BDO}=\widehat{ODI}\)

\(\Rightarrow DO\) là tia phân giác của \(\widehat{BDC}\)

c) Xét 2 tam giác vuông CAO và CHO ta có:

CO là cạnh chung (15)

Từ (12), (15) \(\Rightarrow\Delta CAO=\Delta CHO\) (cạnh huyền-góc nhọn) (16)

\(\Rightarrow AO=HO\) (17)

Mà AO = BO =\(\dfrac{AB}{2}\) (gt)

\(\Rightarrow HO=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\) vuông tại H (18)

d) Từ (17) \(\Rightarrow\) \(\Delta AOH\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OHA}\) (19)

Từ (16) \(\Rightarrow\) CA = CH

\(\Rightarrow\Delta ACH\) cân tại C

Mà CO là đường phân giác của \(\widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow CO\) cũng là đường cao

\(\Rightarrow CO\perp AH\) (20)

Mà CO \(\perp OD\left(gt\right)\left(21\right)\)

Từ (20), (21) \(\Rightarrow AH\) // OD

\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OHA}\) (22)

Từ (19), (22) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{DOH}\) (23)

\(\widehat{DOH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)

\(\widehat{OCH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OCH}\) (24)

Từ (23), (24) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OCH}\) (25)

Từ (18) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}=90^o\)

Xét \(\Delta AHB\)\(\Delta COD\) ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{COD}=90^o\) (26)

Từ (25), (26) \(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta COD\left(G-G\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Frienke De Jong
Xem chi tiết
Ngân Lê
Xem chi tiết
Phương Vân 8/5-41
Xem chi tiết
Bích Nguyệtt
Xem chi tiết
Best zanis
Xem chi tiết
Ngọc Nguyễn
Xem chi tiết
Phương Hà
Xem chi tiết
Anh Đặng
Xem chi tiết
Lân Vũ Đỗ
Xem chi tiết