Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Trần Tuấn Tú

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại B, C của (O). 1) Chứng minh OA vuông góc với BC. 2) Vẽ đường kính BD của (O). Chứng minh CD song song với OA. 3) Đường thẳng đi qua điểm O vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh rằng: ED là tiếp tuyến của (O). giúp em câu c với ạ(dùng kiến thức học kì 1 lớp 9 ạ)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
2 tháng 12 2023 lúc 12:34

1: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC

2: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD

BC\(\perp\)CD

BC\(\perp\)OA

Do đó: CD//OA

3: Gọi giao điểm của OE và AD là H

OE\(\perp\)AD

nên OE\(\perp\)AD tại H

Gọi giao điểm của BC và OA là K

OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC

=>OA\(\perp\)BC tại K và K là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BK là đường cao

nên \(OK\cdot OA=OB^2\)

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOKE vuông tại K có

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA đồng dạng với ΔOKE

=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OA}{OE}\)

=>\(OH\cdot OE=OA\cdot OK=OB^2\)

=>\(OH\cdot OE=OD^2\)

=>\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

Xét ΔOHD và ΔODE có

\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

\(\widehat{HOD}\) chung

Do đó: ΔOHD đồng dạng với ΔODE

=>\(\widehat{OHD}=\widehat{ODE}=90^0\)

=>ED là tiếp tuyến của (O)

Phùng khánh my
2 tháng 12 2023 lúc 11:47

Để giải câu c, ta sẽ sử dụng các kiến thức về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp của đường tròn.

 

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên ta có:

∠OAB = ∠OCA (góc nội tiếp chắn cung AC)

∠OBA = ∠OAC (góc nội tiếp chắn cung AB)

 

Ta cũng biết rằng OA vuông góc với AB 

 

Do đó, ta có:

∠OAB = ∠OBA (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AB)

∠OCA = ∠OAC (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AC)

 

Từ đó, ta suy ra:

∠OAB = ∠OBA = ∠OCA = ∠OAC

 

Vậy tứ giác OBCA là tứ giác nội tiếp.

 

Theo định lý góc nội tiếp, ta có:

∠OBC = ∠OAC (góc chắn cung AC)

∠OCB = ∠OAB (góc chắn cung AB)

 

Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:

∠OBC = ∠OCB

 

Do đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.

 

Vì tam giác OBC là tam giác cân, nên đường trung tuyến BD của tam giác OBC là đường cao và đường phân giác của tam giác OBC.

 

Vậy, ta có:

BD ⊥ OC (đường cao của tam giác OBC)

BD là đường phân giác của ∠OBC (đường phân giác của tam giác OBC)

 

Do đó, ta có:

∠BDC = ∠OBC/2 (do BD là đường phân giác của ∠OBC)

 

Vì ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:

∠BDC = ∠OCB/2

 

Vì ∠OCB = ∠OCA (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AC), nên ta có:

∠BDC = ∠OCA/2

 

Vậy, ta suy ra:

∠BDC = ∠OCA/2

 

Như vậy, ta có:

∠BDC = ∠OCA/2 = ∠OAC/2 (do ∠OCA = ∠OAC)

 

Do đó, CD song song với OA.

 

Tiếp theo, ta chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).

 

Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OCA = ∠OAC, nên ta có:

∠OAB = ∠OBA = ∠OCA = ∠OAC

 

Vậy tứ giác OBCA là tứ giác nội tiếp.

 

Theo định lý góc nội tiếp, ta có:

∠OBC = ∠OAC (góc chắn cung AC)

∠OCB = ∠OAB (góc chắn cung AB)

 

Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:

∠OBC = ∠OCB

 

Do đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.

 

Vì tam giác OBC là tam giác cân, nên đường trung tuyến BD của tam giác OBC là đường cao và đường phân giác của tam giác OBC.

 

Vậy, ta có:

BD ⊥ OC (đường cao của tam giác OBC)

BD là đường phân giác của ∠OBC (đường phân giác của tam giác OBC)

 

Do đó, ta có:

∠BDC = ∠OBC/2 (do BD là đường phân giác của ∠OBC)

 


Các câu hỏi tương tự
nguyễn cao khánh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
WonMaengGun
Xem chi tiết
Hoa Le Thi Tieu
Xem chi tiết
mai huỳnh mai
Xem chi tiết
Hà mỹ trang
Xem chi tiết
Johnny
Xem chi tiết
Nam Phong Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Cường
Xem chi tiết