Question

Cho \(\Delta\)ABC vuông cân tại A , trung tuyến AM , E \(\in\) BC ; BH vuông góc với AE , CK vuông góc với AE .

Chứng minh \(\Delta\)MHK vuông cân !

Answer 1

T/g BHA vuông tại H có: BAH + ABH = 90^o

T/g ABC vuông tại A có: BAH + KAC = 90^o

Suy ra ABH = KAC

Xét t/g BHA vuông tại H và t/g AKC vuông tại K có:

AB = AC ( vì t/g ABC cân tại A)

ABH = CAK (cmt)

Do đó, t/g BHA = t/g AKC ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)

Có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác BAC vuông tại A

=> AM = BC/2 = BM = CM

=> t/g AMC cân tại M

=> MAC = MCA (t/c tam giác cân)

Mà MBA = MCA (do t/g ABC cân tại A)

=> MBA = MAC

Lại có: ABH = CAK (cmt)

=> MBA - ABH = MAC - CAK

=> MBH = MAK

Xét t/g MBH và t/g MAK có:

BH = AK (cmt)

MBH = MAK (cmt)

BM = MA (cmt)

Do đó, t/g MBH = t/g MAK (c.g.c)

=> MH = MK (2 cạnh tương ứng) (1)

BMH = AMK (2 góc tương ứng)

=> BMH - AMH = AMK - AMH

=> BMA = HMK (*)

Dễ dàng c/m t/g BAM = t/g CAM (c.c.c)

Từ đó => BMA = CMA = 90^o

Kết hợp với (*) => HMK = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => t/g MHK vuông cân tại M (đpcm)