Question

Cho \(\Delta\)ABC nhọn,các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Chứng minh:

1)AE.AC=AF.AB

2)AD.AH=FH.HC=HE.HB

3)Góc AEF=góc ABC

4)FH là phân giác của góc DFE

5)Gọi K là giao điểm của AD và EF.Chứng minh:HK.AD=AK.DH

Answer 1

1) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)(đpcm)

Answer 2

3) Ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)(hai góc tương ứng)(Đpcm)