Chứng minh:
a) Vì △ABC cân tại A ⇒ AB = AC ( t/c tam giác cân )
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( tính chất tam giác cân )
Có \(\widehat{QBA}+\widehat{ABC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{QBA}=180^o-\widehat{ABC}\)
Có \(\widehat{ACB}+\widehat{ACR}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ACR}=180^o-\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABQ}=\widehat{ACR}\)
Xét △ABQ và △ACR có
AB = AC ( cmt )
\(\widehat{ABQ}=\widehat{ACR}\left(cmt\right)\)
BQ = CR ( gt )
⇒ △ABQ = △ACR ( c.g.c )
⇒ AQ = AR ( tương ứng )
b) Xét △ABH và △AHC có :
AB = AC ( cmt )
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\)
BH = HC ( gt )
⇒ △ABH = △AHC ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( tương ứng )
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\) ( kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)
Xét △AHQ vuông tại H và △AHR vuông tại H có :
AH - cạnh chung
AQ = AR ( cmt )
⇒ △AHQ = △AHR ( ch - cgv )
\(\Rightarrow\widehat{QAH}=\widehat{RAH}\) ( tương ứng )
Giải
a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\), ta có:
AB = AC ( Vì \(\Delta ABC\) là \(\Delta\) cân )
BH = CH ( giả thuyết )
AH cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)( 2 góc tương ứng )
Mà \(\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=180^0\)( Vì kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
Ta có: BH = CH ( gt )
QB = RC ( gt )
\(\Rightarrow\) QB + BH = RC + CH hay QH = RH
Xét \(\Delta AQH\) và \(\Delta ARH\), ta có:
QH = RH ( Theo chứng minh trên )
\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^0\)( Theo c/m trên )
AH là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AQH=\Delta ARH\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AQ=AR\) ( 2 cạnh tương ứng )
b) Ta biết: \(\Delta AQH=\Delta ARH\) ( theo c/m phần a )
\(\Rightarrow\widehat{QAH}=\widehat{RAH}\) ( 2 góc tương ứng )
