Cho \(\Delta\)ABC cân (AB = AC). Gọi AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (D \(\in\) BC).
1, Chứng minh rằng: BD=DC
2, Từ D kẻ DE \(\perp\)AB (E \(\in\) AB). Từ D kẻ DF \(\perp\) AC (F \(\in\) AC). Chứng minh DE=DF
3, Chứng minh \(\Delta\)AEF cân
4, Tam giác cân ABC cần thỏa mãn thêm điều kiện gì để F là trung điểm của AC?
a) Xét 2 \(\Delta\) \(ABD\) và \(ACD\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
Cạnh AD chung
=> \(\Delta ABD=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)
=> \(BD=CD\) (2 cạnh tương ứng).
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Hay \(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(EBD\) và \(FCD\) có:
\(\widehat{BED}=\widehat{CFD}=90^0\left(gt\right)\)
\(BD=CD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta EBD=\Delta FCD\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(DE=DF\) (2 cạnh tương ứng).
c) Ta có \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
=> \(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(\)vuông \(ADE\) và \(ADF\) có:
\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^0\)
Cạnh AD chung
\(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADE=\Delta ADF\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(AE=AF\) (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta AEF\) cân tại \(A.\)
Chúc bạn học tốt!
