a/ Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta BFC\) và \(\Delta CEB\) có:
BC: Cạnh huyền
CF = BE (gt)
=> \(\Delta BFC=\Delta CEB\) (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{BCE}=\widehat{CBF}\) (2 góc tương ứng)
=> \(\Delta\)ABC cân tại A(đpcm)
b/ Ta có: \(\frac{BF}{3}=\frac{BC}{5}\Rightarrow\frac{BF^2}{9}=\frac{BC^2}{25}\)
Lại có: BC2 - BF2 = CF2 (định lý Py-ta-go)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{BF^2}{9}=\frac{BC^2}{25}=\frac{BC^2-BF^2}{25-9}=\frac{CF^2}{16}=\frac{64}{16}=4\)
=> \(BC^2=4.25=100\Rightarrow BC=10\)
Vậy BC = 10cm
c/Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta OBF\) và \(\Delta OCE\) có:
\(\widehat{BOF}=\widehat{COE}\) (đối đỉnh)
BF = CE(2 cạnh tương ứng do \(\Delta BFC=\Delta CEB\) )
=> \(\Delta OBF=\Delta OCE\) (cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
=> OB = OC và
Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có:
AO: cạnh chung
AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)
OB = OC (cmt)
=> \(\Delta AOB=\Delta AOC\left(c-c-c\right)\)
=> \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: AF + BF = AB
AE + CE = AC
mà AB = AC(đã cm); BF = CE (đã cm)
=> AF = AE
Xét \(\Delta AOF\) và \(\Delta AOE\) có:
AO: Cạnh chung
\(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\left(cmt\right)\)
AF = AE (cmt)
=> \(\Delta AOF=\Delta AOE\left(c-g-c\right)\)
=> OF = OE(2 cạnh tương ứng)(1)
\(\widehat{AOF}=\widehat{AOE}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{AOF}+\widehat{AOE}=180^o\) (kề bù)
=> \(\widehat{AOF}=\widehat{AOE}=90^o\)
=> \(AO\perp EF\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
=> AO là đươg trung trực của EF (đpcm)
