Question

Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm G và đường thẳng d nằm ngoài tam giác. Kẻ \(AA'\perp d,BB'\perp d,CC'\perp d,GG'\perp d.\) Chứng minh \(AA'+BB+CC'=3GG'\)

Answer 1

gọi M,N lần lượt là trung điểm của GC, AB.

M', N' lần lượt là hình chiếu của M và N trên d.

ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

\(\Rightarrow GM=MC=NG\)

hình thang GG'C'C : \(\left\{{}\begin{matrix}GM=MC\\MM'\text{//}GG'\left(\perp d\right)\end{matrix}\right.\)

do đó MM' là dg trung bình của hình thang GG'C'C.

\(\Rightarrow2MM'=GG'+CC'\)(1)

tương tự, hình thang B'BAA' có: \(2NN'=BB'+AA'\)(2)

hình thang NN'M'N có: \(2GG'=NN'+MM'\)(3)

• từ (1),(2) và (3) suy ra : \(4GG'=CC'+GG'+BB'+AA'\)

\(\Leftrightarrow4GG'-GG'=CC'+BB'+AA'\\ \Leftrightarrow3GG'=CC'+BB'+AA'\left(đpcm\right)\)