Question

Cho dãy số: 10, 10², 10³, ... , 10²⁰. CMR: Tồn tại 1 số chia 19 dư 1

Answer 1

Dãy số \(10,10^2,10^3,...,10^{20}\) có tất cả 20 chữ số.

Có 20 số khác nhau mà chỉ có 19 số dư trong phép chia cho 19, do đó tồn

tại hai số cùng số dư trong phép chia cho 19.

Gọi hai số đó là \(10^m\) và \(10^n\)

Như vậy \(10^m-10^n\) chia hết cho 19 hay \(10^n.\left(10^{m-n}-1\right)\) chia hết cho

19

Vì ƯCLN \(\left(10^n;19\right)=1\) nên \(10^{m-n}-1\) chia hết cho 19 hay \(10^{m-n}\)

chia 19 dư 1

Rõ ràng \(10^{m-n}\) là 1 số thuộc dãy số trên bởi \(1\le n\)