Đặt AB=c;AC=b;BC=a
TH1:2BO.CO=BE.CF
Ta có △ABC có đường phân giác BE
\(\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{BC}{AB}\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AE+CE}=\dfrac{BC}{AB+BC}\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{BC}{AB+BC}\Leftrightarrow CE=\dfrac{AC.BC}{AB+BC}=\dfrac{ab}{a+c}\)
Tương tự \(BF=\dfrac{ac}{a+b}\)
Ta có △BEC có đường phân giác CO
\(\Leftrightarrow\dfrac{BO}{OE}=\dfrac{BC}{EC}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{OE+BO}=\dfrac{BC}{EC+BC}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{a}{a+\dfrac{ab}{a+c}}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\)
Tương tự \(\dfrac{CO}{FC}=\dfrac{a+c}{a+b+c}\)
Ta có \(2BO.CO=BE.CF\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}.\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{b+c}{a+b+c}.\dfrac{a+c}{a+b+c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\Leftrightarrow c^2=a^2+b^2\)⇔△ABC vuông tại A
chứng minh ngược lại với TH1 trong TH2 là △ABC vuông tại A
Vậy △ABC vuông tại A⇔2BO.CO=BE.CF
