Question

Cho đa thức f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng min rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

Answer 1

\(f\left(0\right)=c\), mà \(f\left(0\right)\) nguyên \(\Rightarrow c\) nguyên

\(f\left(1\right)=a+b+c\Rightarrow a+b=f\left(1\right)-c\)

Do \(f\left(1\right)\) nguyên, \(c\) nguyên \(\Rightarrow a+b\) nguyên

\(f\left(2\right)=4a+2b+c\Rightarrow4a+2b=f\left(2\right)-c\) (1)

\(\Rightarrow2a=f\left(2\right)-c-2\left(a+b\right)\)

Do \(f\left(2\right)\) nguyên; \(c\) nguyên; \(a+b\) nguyên \(\Rightarrow2a\) nguyên

Cũng từ (1) \(\Rightarrow2b=f\left(2\right)-c-4a\)

Do \(f\left(2\right);c;4a\) nguyên \(\Rightarrow2b\) nguyên