Question

cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a,b,c là các số thực. bt rằng: f(0);f(1);f(2) có giá trị nguyên. c/m rằng 2a;2b có giá trị nguyên

Answer 1

Ta có :

\(f\left(0\right)=c\\ f\left(1\right)=a+b+c\\ f\left(2\right)=4a+2b+c\)

Mà \(f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right)\)có giá trị nguyên nên c là số nguyên; a+b+c là số nguyên;4a+2b+c là số nguyên.(1)

\(\Rightarrow a+b+c-c\in Z\left(vìa+b+c\in Zvàc\in Z\right)\)

\(\Rightarrow a+b\in Z\Rightarrow2\left(a+b\right)\in Z\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có :

\(\left(4a+2b+c\right)-2\left(a+b\right)\in Z\\ \Leftrightarrow2a+c\in Z.Màc\in Z\Rightarrow2a\in Z\left(3\right)\Rightarrow a\in Z.\\ Màa+b\in Z\\ \Rightarrow b\in Z\Rightarrow2b\in Z\left(4\right)\\ Từ\left(3\right)và\left(4\right)\RightarrowĐpcm\)