Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d
Để tính tổng của n số hạng đầu
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n - 1}} + {u_n}\)
Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng \({S_n}\) theo số hạng đầu \({u_n}\) và công sai d
b) Viết \({S_n}\) theo thứ tự ngược lại: \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1}\) và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo \({u_1}\) và d
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính \({S_n}\)theo \({u_1}\) và d
a) \({u_2} = {u_1} + d\)
\({u_3} = {u_1} + 2d\)
…
\({u_{n - 1}} = {u_1} + \left( {n - 2} \right)d\)
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\({S_n} = {u_1} + {u_1} + 2d + \ldots + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
b) \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + \ldots + {u_1} + d + {u_1}\)
c) \(2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1} + d + \ldots + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) + \left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + \ldots + {u_1}} \right)\).
\( \Rightarrow 2{S_n} = n.\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)
\( \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)