Note \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)
Nên ta sẽ đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\ge2\). Khi đó
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\ge0\)
BĐT cuối đúng vì \(t\ge 2\)
1Cho x,y,z >0 và xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng \(3\left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)+\left(1+x^2^x\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\ge\dfrac{985}{108}\) 2 Cho p,q là hai số nguyên tố thoả mãn \(p-1⋮p\) và \(p^3-1p⋮\) Chứng minh rằng p+q là số chính phương
Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 ta có: \(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\ge2+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
CMR mọi số thực khác không x,y ta có :
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=0\)
1, Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\ge1\)
2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{yz}{y+z}-\dfrac{zx}{z+x}\)
cho x,y,z ≠0 và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). . CMR: \(\left(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)=xy+yz+zx\)
Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}< =-2\)
biết \(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\) và \(xy>0\)
Cho P = \(\dfrac{y-x}{xy}:\left(\dfrac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\dfrac{2x^2y}{\left(x^2-y^2\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2-x^2}\right)\)
Voi x>0>y va x+y = 1
a/ Rut gon P
b/ Chung minh P < -4
cho các số thực không x,y,z đôi một khác nhau đồng thời thoả mãn (x+z)(y+z) =2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}\ge4\)
Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y:
C = \(\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)^2}-\dfrac{x+y}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^4}}{4xy}\)
