Em thử nhá! Em nhớ là em có làm đâu đó rồi mà ta???Nhưng ko chắc đâu...
Theo nguyên lí Dirichlet,tồn tại hai trong ba số x - 1; y - 1; z- 1 mà tích chúng không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy\ge x+y-1\)
\(\Rightarrow xyz\ge xz+yz-z\). Suy ra:
\(VT\ge x^2+y^2+xz+yz+z^2-z\)
\(=x^2+y^2+z\left(x+y+z\right)-z\)
\(=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+3z-z-2\)
\(\ge2\left(x+y+z\right)-2=2.3-2=6-2=4^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Cách khác:
Theo BĐT Schur bậc 3:
\(xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)=(3-2x)(3-2y)(3-2z)\)
\(\Leftrightarrow xyz\geq (9-6y-6x+4xy)(3-2z)\)
\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 27-18(x+y+z)+12(xy+yz+xz)=-27+12(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow xyz\geq -3+\frac{4}{3}(xy+yz+xz)\)
Do đó:
\(x^2+y^2+z^2+xyz\geq x^2+y^2+z^2-3+\frac{4}{3}(xy+yz+xz)\)
\(=\frac{2}{3}(x+y+z)^2+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}-3\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{9}-3=4\)
(theo BĐT AM-GM)
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
