\(\dfrac{1}{\left[\left(x+z\right)-\left(y+z\right)\right]^2}+\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2-2}+\dfrac{\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2-2}{1}\ge2\)
(AM-GM)
cho các số thực không x,y,z đôi một khác nhau đồng thời thoả mãn (x+z)(y+z) =2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}\ge4\)
cho x,y,z ≠0 và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). . CMR: \(\left(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)=xy+yz+zx\)
1Cho x,y,z >0 và xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng \(3\left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)+\left(1+x^2^x\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\ge\dfrac{985}{108}\) 2 Cho p,q là hai số nguyên tố thoả mãn \(p-1⋮p\) và \(p^3-1p⋮\) Chứng minh rằng p+q là số chính phương
Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 ta có: \(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\ge2+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=0\)
1, Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\ge1\)
2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{yz}{y+z}-\dfrac{zx}{z+x}\)
cho x,y,z là các số thực dương , thỏa mãn : xy+yz+zx=xyz
Chứng minh rằng \(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{1}{16}\)
Cho các số x, y, z thoả mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{c}\\x^2+y^2+z^2=b^2\end{matrix}\right.\)
Tính \(P=x^3+y^3+z^3\) theo a, b, c.
cho x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . tìm GTNN của \(P=\dfrac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\dfrac{y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(xy+1\right)}+\dfrac{z\left(xy+1\right)^2}{x^2\left(yz+1\right)}\)
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTLN của \(\dfrac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(y+z\right)^2+\left(y+1\right)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(z+x\right)^2+\left(z+1\right)^2+4}}\)
