Question

Cho các số thực dương x;y thỏa mã : \(x^2+y^2=2\)

Tìm GTNN của biểu thức F = \(\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}\)

Answer 1

Ta có:\(F=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}\)

\(F=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+x^2\sqrt{y}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}+y^2\sqrt{x}-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}\)

\(F\ge2x^2+2y^2-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}=4-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}\)

Đặt \(A=x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}\)

\(A\le\frac{x^2\left(y+1\right)+y^2\left(x+1\right)}{2}=\frac{x^2y+y^2x+2}{2}\)

Ta có:\(x^2y+y^2x=xy\left(x+y\right)\le\frac{x^2+y^2}{2}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=1.2=2\)

\(\Rightarrow A\le\frac{2+2}{2}=2\)

\(\Rightarrow F\ge4-2=2\)

"="<=>x=y=1