Question

Cho các số thực dương  \(a;b;c\)  thỏa mãn  : \(a+b+c=3\) 
Chứng minh rằng  : \(\dfrac{a}{b^2+c^2+1}+\dfrac{b}{c^2+a^2+1}+\dfrac{c}{a^2+b^2+1}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và  các bạn yêu toán giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!

Answer 1

Ta có:

\(\left(b^2+c^2+1\right)\left(1+1+a^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{b^2+c^2+1}\le\dfrac{a^2+2}{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^2+c^2+1}\le\dfrac{a^3+2a}{9}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{c^2+a^2+1}\le\dfrac{b^3+2b}{9}\) ; \(\dfrac{c}{a^2+b^2+1}\le\dfrac{c^3+2c}{9}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{a^3+b^3+c^3+2\left(a+b+c\right)}{9}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+6}{9}\) (1)

Lại có:

\(\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3a+3b+3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\Rightarrow6\le2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow VT\le\dfrac{a^3+b^3+c^3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{9}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)