Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Võ Thị Kim Dung

Cho các số thực dương a,b. CM BĐT sau :

\(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Hà Nam Phan Đình
12 tháng 11 2017 lúc 12:59

BĐT cần chứng minh tương đương

\(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}-2\left(a+b\right)\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{a+b}\ge\dfrac{8\left(a^2+b^2\right)-4\left(a+b\right)^2}{2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\right)\ge0\)

ta phải chứng minh

\(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b\ge2\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=> đpcm


Các câu hỏi tương tự
Đặng Dung
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Trần Đạt
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết