Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
b) \(\dfrac{2ab}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\dfrac{a+b}{2}\)
c) \(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+ab}\)
dfrac{1}{left(1+a^2right)}+dfrac{1}{left(1+b^2right)}gedfrac{2}{left(1+abright)}
Leftrightarrowleft(1+a^2right)left(1+abright)+left(1+a^2right)left(1+abright)ge2left(1+a^2right)left(1+b^2right)
Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2left(1+a^2+b^2+a^2b^2right)ge0
Leftrightarrow ableft(a^2-2ab+b^2right)-left(a^2+2ab+b^2right)ge0
Leftrightarrowleft(ab-1right)left(a-bright)^2ge0
Điều này hiển nhiên đúng do ab ge 1, (a-b)2 ge 0
Dấu xảy ra khi và chỉ khi a b 1
Đọc tiếp
\(\dfrac{1}{\left(1+a^2\right)}+\dfrac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\dfrac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1, (a-b)2 \(\ge\) 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
a, Cho a,b là số thực dương và ab<1. Chứng minh \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
b, Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. Chứng minh \(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn : \(ab+bc+ca=0\)
C/m: \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b>0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{matrix}\right.\). Chứng minh: 3(a+b)2-(a+b)+4ab\(\ge\)\(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\)
Cho ba số a,b,c dương abc=1. CMR
P = \(\dfrac{a^2}{\left(2ab+1\right)\left(ab+2\right)}+\dfrac{b^2}{\left(2bc+1\right)\left(bc+2\right)}+\dfrac{c^2}{\left(2ac+1\right)\left(ac+2\right)}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\)
Bài 1:
a , Cho a , b là các số dương . C/m: dfrac{1}{a^2}+dfrac{1}{b^2}gedfrac{2}{ab}
b, Cho a , b , c là các số dương thoả mãn a+b+c+ab+bc+ca6abc
C/m: dfrac{1}{a^2}+dfrac{1}{b^2}+dfrac{1}{c^2}ge3
Bài 2:a, Cho a, b ,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c1
C/m: dfrac{ab}{c+1}+dfrac{bc}{a+1}+dfrac{ca}{b+1}ledfrac{1}{4}
b,C/m: dfrac{a+b+c}{sqrt{aleft(a+3bright)}+sqrt{bleft(b+2cright)}+sqrt{cleft(c+2aright)}}gedfrac{1}{2}
Bài 3: Cho a , b, c 0 thỏa mãn abc1. Tìm max của:
Pdfrac{...
Đọc tiếp
Bài 1:
a , Cho a , b là các số dương . C/m: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\)
b, Cho a , b , c là các số dương thoả mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc
C/m: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3\)
Bài 2:a, Cho a, b ,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1
C/m: \(\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}\)
b,C/m: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+2c\right)}+\sqrt{c\left(c+2a\right)}}\ge\dfrac{1}{2}\)
Bài 3: Cho a , b, c> 0 thỏa mãn abc=1. Tìm max của:
\(P=\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\)
1. Cho a,bge0 thỏa mãn sqrt{a}+sqrt{b}1 . Chứng minh: ableft(a+bright)^2ledfrac{1}{64}
2. Cho a,bge0 thỏa mãn a^2+b^2le2 . Chứng minh: asqrt{3aleft(a+2bright)}+bsqrt{3bleft(b+2aright)}le6
3. Cho a,b0 thỏa mãn dfrac{1}{a^2}+dfrac{1}{b^2}2 . Chứng minh: a+bge2
Đọc tiếp
1. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\) . Chứng minh: \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2\le2\) . Chứng minh: \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)
3. Cho \(a,b>0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=2\) . Chứng minh: \(a+b\ge2\)