Question

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn : a+b+c =3 Chứng minh rằng: a^{2 +}b^{2 +}c^{2 +}abc \(\ge\)4.

Answer 1

Ta có bổ đề sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

C/m bổ đề: Theo nguyên lí Dirichle tồn tại 2 trong 3 số a,b,c cùng \(\ge1\) hoặc \(\le1\). Giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1 - 2(ab+bc+ca) = (a-b)^2 +(c-1)^2+ 2c(a-1)(b-1) \geq 0\)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc+1=a^2+b^2+c^2+\left(a^2+b^2+c^2+2abc+1\right)\)

\(\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow2VT+1\ge9\Rightarrow VT\ge8\Rightarrow VT\ge4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)