Question

Cho các số thực a, b, c thỏa a > 0, bc = a² , a + b + c = abc. Chứng minh:

a \(\ge\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}}{3}}\)

Answer 1

Lời giải:

Bài này mình nghĩ đề không tồn tại dấu "=" bạn nhé, chỉ là $a>\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}}{3}}$

Ta có:

$a+b+c=abc$

$a(bc-1)=b+c$

$a^2(bc-1)^2=(b+c)^2=(b-c)^2+4bc\geq 4bc$

Thay $bc=a^2$ thì:

$a^2(a^2-1)^2\geq 4a^2$

$\Rightarrow (a^2-1)^2\geq 4$

$\Rightarrow (a^2-1-2)(a^2-1+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2-3)(a^2+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2-3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})\geq 0$

$\Rightarrow a-\sqrt{3}\geq 0$ (do $a>0$)

$\Rightarrow a\geq \sqrt{3}>\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}}{3}}$

(đpcm)