Question

cho các số thự x,a,b,c thay đổi thỏa mãn

\(x+a+b+c=7,x^2+a^2+b^2+c^2=13\)

tìm min, max của x

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x+a+b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=7-x\\a^2+b^2+c^2=13-x^2\end{matrix}\right.\)

Mà ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow13-x^2\ge\dfrac{\left(7-x\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-7x+5\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le x\le\dfrac{5}{2}\)

Vậy min là 1 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\a=b=c=2\end{matrix}\right.\)

Max là \(\dfrac{5}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\a=b=c=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)