Question

Cho các số nguyên dương x,y,z thoả x+y+z =3. Cm \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge y-\frac{z}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge z-\frac{x}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)