Giả sử trong hai số x,y không có số nào chia hết cho 3 thì
\(x^2,y^2\) chia cho 3 dư 1 ( do số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv2\left(mod3\right)\) \(\Rightarrow z^2\equiv2\left(mod3\right)\) => vô lí
vậy trong hai số x,y phải có 1 số chia hết cho 3
tương tự ta cũng chứng minh được trong 2 số x,y có 1 số chia hết cho 4 ( sử dụng tính chất số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)
mà \(\left(3,4\right)=1\) \(\Rightarrow xy⋮12\)
Nè:
SCP chia 3 dư 0;1
Nếu cả 3 số không có số nào chia hết cho 3 thì vô lý (loại)
Vầy tồn tại 1 số chia hết cho 3
Nếu đó là x; y(cứ kệ nó)
Nếu đó là z
suy ra z^2 chia hết cho 3
suy ra z chia hết cho 3
suy ra x^2+y^2 chia hết cho 3 mà SCP chia 3 dư 0;1
suy ra x^2 chia hết cho 3;y^2 chia hết cho 3
Vậy trong mọi trường hợp thì 1 trong 2 số x;y luôn chia hết cho 3
Chứng minh tương tự với 4
suy ra xy chia hết cho cả 3;
mà UCLN (4;3)=1
Suy ra xy chia hết cho 12
