Ta có:
\(2\left(2x^2+xy+2y^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2+1\left(x+y\right)^2=\dfrac{5}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Gợi ý. Dùng cái trên.
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = \(\dfrac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\dfrac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{2x+y+z}+\dfrac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{x+2y+z}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y +z ≥ 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}\) + \(\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}\) + \(\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)
cho các số thực dương thoả mãn: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)
CMR: \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+zy}}\le\dfrac{1}{2}\)
Cho x,y,z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\) . Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y^2+z^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2z^2+x^2+3}}\) ≤ \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z=2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = \(\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}\)+\(\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}\)+\(\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)
Cho \(x,y,z\) là các thực thỏa \(x+y+z=1\).Tìm giá trị nhỏ nhất:
\(P=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+6xyz\)
cho x,y,z là số dương thỏa mãn x+y+z ≤3 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\sqrt{y}\left(y+1\right)-6x-9=\left(2x+4\right)\sqrt{2x+3}-3y\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xy + 3y - 4\(x^2\) - 3
