Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sum\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sum\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" không xảy ra =>đpcm
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=1\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=abc. Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}< 1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab-2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4+c^3+ac+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\) ≥ \(\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c+2=abc. Chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\le\frac{3}{2}\)
Cho \(a;b;c\) là các số dương thỏa mãn: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=4\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{2\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+2\sqrt{ab}}\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le\sqrt{2}\)
Cho các số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=8. chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}\)
