Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Wanna.B Linah

Cho biểu thức P=\(\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\right)\)

a, Rút gọn P

b, So sánh P với /P/

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Natsu Dragneel
27 tháng 2 2020 lúc 10:08

a) \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{x^2+2+\left(x^2-x\right)-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)\(=\frac{x-1}{2}.\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-2x+1}\)

\(=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)}{2\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2+x+1}{2}\)

b) Ta thấy :

\(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

\(\frac{x^2+x+1}{2}>0\Rightarrow P=\left|P\right|\)

c) Lại có :

\(x^2+x+1\ge\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{x^2+x+1}{2}\ge\frac{3}{8}\)

Dấu = xảy ra khi :

\(x^2+x+1=\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy MinP = 3/4 ⇔ x = -1/2

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Ngọc Lộc
27 tháng 2 2020 lúc 10:08

a, ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x^2+x+1\ne0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ne0\end{matrix}\right.\)

=> \(x\ne1\)

- Ta có : \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\right)\)

=> \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{1}{x-1}\right)\)

=> \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x\left(x-1\right)}{x^3-1}-\frac{x^2+x+1}{x^3-1}\right)\)

=> \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2+x\left(x-1\right)-x^2-x-1}{x^3-1}\right)\)

=> \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2+x^2-x-x^2-x-1}{x^3-1}\right)\)

=> \(P=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2-2x+1}{x^3-1}\right)\)

=> \(P=\frac{\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)}{2\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{2\left(x-1\right)^2}\)

=> \(P=\frac{x^2+x+1}{2}\)

b, Ta có : \(\left|P\right|=\left|\frac{x^2+x+1}{2}\right|=\frac{\left|x^2+x+1\right|}{2}\)

=> \(\left|P\right|=\frac{\left|x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right|}{2}=\frac{\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right|}{2}\)

- Ta thấy : \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

=> \(\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{2}>0\)

=> \(\left|\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{2}\right|=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{2}\)

=> \(\left|P\right|=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{2}\)

Vậy \(\left|P\right|=P=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Min
Xem chi tiết
MInemy Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Khởi My
Xem chi tiết
Huyền Trang
Xem chi tiết
Huyền Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Anh
Xem chi tiết
Trần Quý
Xem chi tiết
Huyền Trang
Xem chi tiết
Huyền Trang
Xem chi tiết