Sửa đề: \(P=\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)\)
a) Ta có: \(P=\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\)
\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\)
\(=1-a\)
b) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a\ne1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(Q=P+\sqrt{a}\)
\(=1-a+\sqrt{a}\)
\(=-a+\sqrt{a}+1\)
\(=-\left(a-\sqrt{a}-1\right)\)
\(=-\left(a-2\cdot\sqrt{a}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)\)
\(=-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)
Ta có: \(\sqrt{a}\ge0\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow\sqrt{a}-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{4}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\le-\frac{1}{4}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Rightarrow-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le1\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\)
hay \(a=\frac{1}{4}\)(nhận)
Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=P+\sqrt{a}\) là 1 khi \(a=\frac{1}{4}\)
