Bài 6: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Đức Nhân

Cho biểu thức

A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

a,Rút gọn biểu thức

b,Tính giá trị của biểu thức khi x=\(4-2\sqrt{3}\)

c,Tính các giá trị để A=\(\frac{1}{2}\)

d,Tìm các giá trị của x để A<1

e,Tìm các giá trị của x để A là số nguyên

Nguyễn Lê Phước Thịnh
27 tháng 8 2020 lúc 19:41

Sửa đề: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

a) Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x=4-2\sqrt{3}\)

\(=3-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1\)

\(=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)(nhận)

Thay \(x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\) vào biểu thức \(A=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\), ta được:

\(A=\frac{2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}\)

\(=\frac{2\cdot\left|\sqrt{3}-1\right|-1}{\left|\sqrt{3}-1\right|+1}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)-1}{\sqrt{3}-1+1}\)(Vì \(\sqrt{3}>1\))

\(=\frac{2\sqrt{3}-2-1}{\sqrt{3}}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}}\)

\(=2-\sqrt{3}\)

Vậy: Khi \(x=4-2\sqrt{3}\) thì \(A=2-\sqrt{3}\)

c) Để \(A=\frac{1}{2}\) thì \(\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(2\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-3=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\)

hay x=1(loại)

Vậy: Không có giá trị nào của x để \(A=\frac{1}{2}\)

d) Để A<1 thì A-1<0

hay \(\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}< 0\)

\(\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(2\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{x}+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)

\(\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 4\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 4\\x\ne1\end{matrix}\right.\)thì A<1

e) Để A là số nguyên thì \(2\sqrt{x}-1⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(2\sqrt{x}+2⋮\sqrt{x}+1\forall x\)

nên \(-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

\(\sqrt{x}+1\ge1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(\sqrt{x}+1\in\left\{1;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;4\right\}\)(nhận)

Vậy: Khi \(x\in\left\{0;4\right\}\) thì A là số nguyên

Hoàng Thúy An
27 tháng 8 2020 lúc 19:54

có sai đề k bạn nếu sai mk xin sửa

đkxđ \(x\ne1;x\ge0\)

a,\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\sqrt{x}-1}{x-1}\)

\(=\frac{2x+3-3\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b, khi x = \(4+2\sqrt{3}\)

\(A=\frac{2\left(3+2\sqrt{3}\right)+1}{4+2\sqrt{3}-2}=\frac{9+4\sqrt{5}}{3+2\sqrt{3}}\)

c, để A = 1/2

\(\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\sqrt{x}+2=\sqrt{x}-1\Leftrightarrow3\sqrt{x}=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\left(ktmđk\right)\)

d, để A<1\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}< 1\left(1\right)\)

th1 với \(\sqrt{x}-1>0\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\Leftrightarrow x>1\)

Ta có (1)\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1< \sqrt{x}-1\Leftrightarrow\sqrt{x}< -2\left(loại\right)\)

th2 \(\sqrt{x}-1< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 1\Leftrightarrow0\le x< 1\)

ta có (1) \(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1>\sqrt{x}-1\Leftrightarrow\sqrt{x}>-2\left(luônđúng\right)\)

\(\Rightarrow0\le x< 1\)

e, \(A=\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}=2+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

để A là số nguyen thì \(\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)cũng là số nguyên

\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=1\\\sqrt{x}-1=-1\\\sqrt{x}-1=3\\\sqrt{x}-1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=4\\\sqrt{x}=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tmđk\right)\\x=0\left(tmđk\right)\\x=16\left(tmđk\right)\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
....
Xem chi tiết
Duy Saker Hy
Xem chi tiết
Mai Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Hoà
Xem chi tiết
Dương Tuyết Hoa
Xem chi tiết
tơn nguyễn
Xem chi tiết
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
vũ linh
Xem chi tiết
....
Xem chi tiết