Question

Cho biểu thức : \(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)

a, Rút gọn biểu thức

b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.

Answer 1

@phynit

Answer 2

a) Ta có biến đổi:

\(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

b) Gọi \(d\inƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)\)

Vì \(a^2+a-1=a\left(a+1\right)-1\) là số lẻ

\(\Rightarrow d\) là số lẻ

Mặt khác, \(2=\left(a^2+a+1\right)-\left(a^2+a-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Mà \(\left(a^2+a+1;a^2+a-1\right)=1\)

Vậy biểu thức \(A\) là phân số tối giản (Đpcm)