Question

Cho biểu thức A=\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}+\dfrac{x+2}{1-x\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+1}\)

a. Cm biểu thức A không nhận giá trị dương với x thuộc điều kiện xác định

b.Tính giá trị lớn nhất của B =\(\dfrac{2}{A}+\sqrt{x}\)

Answer 1

a: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1-x-2-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{-2x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

Để A>0 thì \(\dfrac{-2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}>0\)

=>\(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}< 0\)

=>1/2<căn x<1

=>1/4<x<1

b: \(B=\dfrac{2}{A}+\sqrt{x}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{-2x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\)

\(=\dfrac{2\left(x\sqrt{x}-1\right)-2x\sqrt{x}+x}{-2x+\sqrt{x}}=\dfrac{x-2}{-2x+\sqrt{x}}=\dfrac{-\left(x-2\right)}{2x-\sqrt{x}}< =0\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2