Question

Cho ba tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại G

a) Nếu tam giác ABC đều khi đó hãy chứng minh GD = GE = GF

b) Đảo lại nếu có GD = GE =GF. khi đó chứng minh tam giác ABC đều

Answer 1

a) Ta có: ΔABC đều(gt)

mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

nên AD là đường cao và đường phân giác ứng với cạnh BC(tính chất tam giác cân)

⇒AD⊥BC

hay GD⊥BC

Ta có: ΔABC đều(gt)

mà BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

nên BE là đường cao và đường phân giác ứng với cạnh AC(tính chất tam giác cân)

⇒BE⊥AC

hay GE⊥AC

Ta có: ΔABC đều(gt)

mà CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)

nên FC là đường cao và đường phân giác ứng với cạnh AB(tính chất tam giác cân)

⇒CF⊥AB

hay GF⊥AB

Xét ΔGFB vuông tại F và ΔGDB vuông tại D có

GB là cạnh chung

\(\widehat{FBG}=\widehat{DBG}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), F∈AB, D∈AC, G∈BE)

Do đó: ΔGFB=ΔGDB(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒GF=GD(hai cạnh tương ứng)(1)

Xét ΔGDC vuông tại D và ΔGEC vuông tại E có

GC là cạnh chung

\(\widehat{DCG}=\widehat{ECG}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\), E∈AC, D∈BC, G∈CF)

Do đó: ΔGDC=ΔGEC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒GD=GE(hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra GD=GF=GE(đpcm)