Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen Thi Thu Huyen

Cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z =3 và \(x^4+y^4+z^4=3xyz\) Tính giá trị của biểu thức M= \(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}\)

tran nguyen bao quan
2 tháng 1 2019 lúc 20:25

Áp dụng bđt cosi ta có:

\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4.y^4}=x^2.y^2\)

Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2\)

\(\dfrac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)

Vậy \(\dfrac{x^4+y^4+y^4+z^4+z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)

Ta lại có \(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}\ge\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=xy^2z\)

Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^2z^2+z^2x^2}{2}\ge yz^2x\)

\(\dfrac{z^2x^2+x^2y^2}{2}\ge zx^2y\)

Vậy \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xz^2y+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^4=y^4=z^4\\x^2y^2=y^2z^2=z^2x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà x+y+z=3\(\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy M=\(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}=1^{2016}+1^{2916}+z^{2016}=1+1+1=3\)


Các câu hỏi tương tự
loancute
Xem chi tiết
Đặng Minh An
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Đại
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Linh An Trần
Xem chi tiết
Vy 7A1 Vũ Nguyễn Khánh
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Tạ Vũ Thiên Thiên
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết