Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Andromeda Galaxy

Cho \(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}.\left(\dfrac{\sqrt{y+z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z+x}}{y}+\dfrac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

Tìm Min A biết x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt{2}\)

Akai Haruma
25 tháng 2 2018 lúc 1:09

Lời giải:

Ta có:

\(A=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

\(A=\frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\) và tương tự với những biểu thức khác suy ra:

\(A\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}+\frac{(z+x)(y+\sqrt{xz})}{y}+\frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}\)

hay \(A\geq 2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}\)

hay \(A\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{yz(y+z)\sqrt{yz}+xz(x+z)\sqrt{xz}+xy(x+y)\sqrt{xy}}{xyz}}_{M}\)

Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\)

Khi đó: \(M=\frac{a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(a^2+c^2)}{a^2b^2c^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^5b^3+a^3b^5\geq 2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)

\(b^5c^3+c^5b^3\geq 2b^4c^4\)

\(c^5a^3+a^5c^3\geq 2c^4a^4\)

\(\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\) (1)

(cộng các BĐT theo vế)

Tiếp tục AM-GM:

\(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2; b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4; c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\)

\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\) (2)

Từ\((1); (2)\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Rightarrow M\geq 2(a^2+b^2+c^2)=2(x+y+z)\)

Do đó: \(A\geq 2(x+y+z)+M\geq 4(x+y+z)\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt{2}\)

Vậy \(A_{\min}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Huy Nguyen
17 tháng 1 2021 lúc 18:28

Lời giải:

Ta có:

A=√(x+y)(y+z)(z+x)(√y+zx+√z+xy+√x+yz)

A=(y+z)√(x+y)(x+z)x+(z+x)√(y+z)(y+x)y+(x+y)√(z+x)(z+y)z

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

(x+y)(x+z)≥(x+√yz)2 và tương tự với những biểu thức khác suy ra:

A≥(y+z)(x+√yz)x+(z+x)(y+√xz)y+(x+y)(z+√xy)z

hay A≥2(x+y+z)+(y+z)√yzx+(z+x)√zxy+(x+y)√xyz

hay A≥2(x+y+z)+yz(y+z)√yz+xz(x+z)√xz+xy(x+y)√xyxyz M 

Đặt (x,y,z)=(a2,b2,c2)

Khi đó: M=a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(a2+c2)a2b2c2

Áp dụng BĐT AM-GM:

a5b3+a3b5≥2√a8b8=2a4b4

b5c3+c5b3≥2b4c4

c5a3+a5c3≥2c4a4

⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2(a4b4+b4c4+c4a4) (1)

(cộng các BĐT theo vế)

Tiếp tục AM-GM:

a4b4+b4c4≥2a2b4c2;b4c4+c4a4≥2a2b2c4;c4a4+a4b4≥2a4b2c2 

⇒a4b4+b4c4+c4a4≥a2b2c2(a2+b2+c2) (2)

Từ(1);(2)⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2a2b2c2(a2+b2+c2)

⇒M≥2(a2+b2+c2)=2(x+y+z)

Do đó: A≥2(x+y+z)+M≥4(x+y+z)⇔A≥4√2

Vậy Amin=4√2⇔x=y=z=√23


Các câu hỏi tương tự
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
ghdoes
Xem chi tiết
Anh Pha
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết