Question

CHO \(a+b\ge0\). CMR với mọi số nguyên dương n ta luôn có BĐT sau:(bằng PP quy nạp) \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\)

Answer 1

Đề bắt quy nạp khó quá, giá đề mở thì xài Ber's ineq cho lẹ .-.

*) Với \(n=1;2\) BĐT đúng

*)Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) tức chứng minh BĐT đúng với \(n=k+1\) hay \(\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)

Ta có: \(VT-VP=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)

\(=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^k\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\)

\(\ge\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\dfrac{a^k+b^k}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\)

\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^k-b^k\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^{k-1}-a^{k-2}b+...+b^{k-1}\right)}{4}\ge0\)

Khi \(a=b\)