Question

cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)

Answer 1

\(\dfrac{a+b}{2}và\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)

biến đổi vế trái : \(\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)(1)

biến đổi vế phải : \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2-2ab}{2}\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)dpcm

Answer 2

theo bđt cosi ta có

\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow dpcm\)