§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nhàn Nguyễn

Cho a,b,c\(\ge\)0 và \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}+\frac{3c}{1+c}\le1\)

Cmr : \(ab^2c^3\le\frac{1}{5^6}\)

Akai Haruma
6 tháng 3 2019 lúc 1:58

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}\leq 1(*)\)

\((*)\Rightarrow \frac{1}{a+1}=1-\frac{a}{a+1}\geq \frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{b^2c^3}{(b+1)^2(c+1)^3}}(1)\)

\((*)\Rightarrow \frac{1}{b+1}=1-\frac{b}{b+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{abc^3}{(a+1)(b+1)(c+1)^3}}(2)\)

\((*)\Rightarrow \frac{1}{c+1}=1-\frac{c}{c+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{2b}{b+1}+\frac{2c}{c+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{ab^2c^2}{(a+1)(b+1)^2(c+1)^2}}(3)\)

Lấy \((1).(2)^2.(3)^3\) rồi rút gọn ta suy ra \(ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{5}$


Các câu hỏi tương tự
Diệu Anh Bùi
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Uyên
Xem chi tiết
Pool Tran
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
NGỌC CẨM
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
muon tim hieu
Xem chi tiết
Chí Cường
Xem chi tiết