Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nam do

cho \(a,b,c>\frac{1}{2}\) và thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng

\(\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{5-2\left(a+c\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{5-2\left(a+b\right)}}\ge3\)

Nguyen
6 tháng 3 2019 lúc 8:10

Áp dụng BĐT Svarxơ:

\(\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+b\right)}}\)\(\frac{3^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+c\right)}+\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\)

Có: \(\sqrt{5-2\left(b+c\right)}=\sqrt{2\left(1-\left(3-a\right)\right)+3}\)\(=\sqrt{-4+2a+3}=\sqrt{2a-1}\)

CMTT: \(\sqrt{5-2\left(a+c\right)}=\sqrt{2b-1}\);\(\sqrt{5-2\left(a+b\right)}=\sqrt{2c-1}\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{2a-1}+\sqrt{2b-1}+\sqrt{2c-1}}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a-1+2b-1+2c-1\right)}}\)(BDT Bunhiacopxki)\(=\frac{9}{\sqrt{3\left[2\left(a+b+c\right)-3\right]}}=\frac{9}{\sqrt{3\left[6-3\right]}}=\frac{9}{3}=3\)(dpcm)


Các câu hỏi tương tự
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
vũ manh dũng
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
tthnew
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết