Question

Cho a,b,c,d \(\ne\) 0 và \(b^2=ac;c^2=bd\). Chứng minh: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c+d\right)^2}=\frac{a}{d}\)

Answer 1

Lời giải:
Từ \(b^2=ac; c^2=bd\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Đặt \(\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow b=ct; a=bt; c=dt\)

Khi đó:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(ct)^2+(dt)^2}{b^2+c^2+d^2}=t^2(1)\)

\(\frac{(a+b+c)^2}{(b+c+d)^2}=\frac{(bt+ct+dt)^2}{(b+c+d)^2}=\frac{t^2(b+c+d)^2}{(b+c+d)^2}=t^2(2)\)

\(\frac{a}{d}=\frac{bt}{d}=\frac{ct.t}{d}=\frac{dt.t.t}{d}=t^3\)

Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{(a+b+c)^2}{(b+c+d)^2}\) nhưng không bằng $\frac{a}{d}$ (trừ phi $t=1$)