Xét \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=a^2-4b\\\Delta_2=c^2-4d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)
- Nếu \(b+d< 0\Rightarrow\frac{ac}{2}\le b+d\)
\(\Rightarrow a^2+c^2-4\left(b+d\right)\ge a^2+c^2-4.\frac{ac}{2}=\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge0\Rightarrow\) tồn tại ít nhất một trong 2 biểu thức \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm \(\Rightarrow\) luôn có 1 trong 2 pt có nghiệm
- Nếu \(b+d>0\Rightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=\left(a-c\right)^2+2ac-4\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge\left(a-c\right)^2+2.2\left(b+d\right)-4\left(b+d\right)=\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Tương tự như trên
Vậy pt luôn có nghiệm
