Question

cho a+b+c=a² +b²+c²=a³+b³+c3=1

Tìm P=a¹⁹⁹⁸+b¹⁹⁹⁹+c²⁰⁰⁰

Answer 1

Ta có: (a + b + c)² = a² + b² + c² = 1 (*)

=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = a² + b² + c²

=> ab + bc + ca = 0 (1)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ = 1

=> a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a³ + b³ + c³

=> 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

+) a = -b, thay vào (1) ta được: -b² + bc - bc = 0

=> -b² = 0 => b = 0 = a

Thay vào (*) => c = 1

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại

Như vậy trong 3 số a;b;c luôn có 2 số = 0; 1 số = 1

=> P = a¹⁹⁹⁸ + b¹⁹⁹⁹ + c²⁰⁰⁰ = 1

Answer 2

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Hay \(1=1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

Nếu a=-b thì P=c^200

tương tự cho các trường hợp còn lại