Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Trang

cho a+b+c=3

c/m \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

 Mashiro Shiina
21 tháng 3 2018 lúc 16:50

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ac}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(L\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

Mặt theo AM-GM: \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

\(L\ge a+b+c-\dfrac{3}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Lương Phan
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Phạm Đức Minh
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
Hjjkj Fhjgg
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Thanh Dương Hoàng
Xem chi tiết