Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Huyền My

Cho a,b,c>0 và a+b+c=2

Tìm Pmin=\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}}\)

Nguyễn Shinn
17 tháng 7 2018 lúc 22:10

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:

\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2.\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}\) ( Cauchy-Schwarz)

\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{162}{\left(a+b+c\right)^2}}=\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Tom Phan
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết