Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Đức Anh

Cho a,b,c >0 t/m a+b+c=abc-2. Tìm max

\(P=\sqrt{\dfrac{1}{a+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{b+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{c+1}}\)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 12 2020 lúc 10:59

\(a+b+c+2=abc\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+2c+3+ab+bc+ca=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a+1};\dfrac{1}{b+1};\dfrac{1}{c+1}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z=1\)

BĐT trở thành:

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) hay \(a=b=c=2\)


Các câu hỏi tương tự
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Linh “Phải sống thật hạn...
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
nguyễn trọng trung
Xem chi tiết