Question

Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ HN vuông AC ( N thuộc AC ), kẻ HM vuông AB ( M thuộc AB )

a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của H qua M; E là điểm đối xứng H qua N. Chứng minh tứ giác AMNE là hình bình hành

c) Chứng minh A là trung điểm DE.

Chứng minh BC​² = BD² + CE² + 2BH.HC

Answer 1

a: Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{NAM}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMNE có 

AM//NE

AM=NE

Do đó:AMNE là hình bình hành

c: Xét ΔAHD có 

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó:ΔAHD cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là tia phân giác của HAD(1)

Xét ΔAHE có

AN là đường cao

AN là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A
mà AC là đường cao

nên AC là tia phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

mà AE=AD

nên A là trung điểm của DE