Question

Cho ABC vuông ở C, có góc A bằng 60⁰. Tia phân giác của góc BAC cắt

         BC ở E. Kẻ   EK vuông góc với AB (K thuộc AB).

        a) Chứng minh AC =AK và AE  CK

        b) Chứng minh KA = KB.

        c) Chứng minh EB > AC.

        d) Kẻ BD vuông góc với tia AE (D thuộc tia AE). Chứng minh ba đường thẳng    AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm.

Answer 1

Xét tam giác vuông ACE và tam giác vuông AKE có : góc ECA = góc EKA = 90 độEA: cạnh huyền chung góc CAE = góc KAE (vì AE là tia phân giác góc A)Suy ra : Tam giác ACE= Tam giác AKE ( CH-GN)

=> AC=AK( hai cạnh tương ứng)ta có: AC=AK (cmt)=> A nằm trên đường trung trực của KC   (1)AK=EC( tam giác AKE=tam giác ACE)=> E nằm trên đường trung trực của KC   (2)

từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của KCvậy AE vuông góc với CKb) Ta có : trong tam giác vuông BCA: góc B + góc A = 90 độ

=> góc B = 90 độ - góc A= 90 độ - 60 độ = 30 độ Mà góc EAB = 30 độ Suy ra Tam giác EBA cân tại E

Mặt khác : EK vuông góc với AB

Nên EK  cũng là đường trung trực của tam giác AEB=>BK=AKc) Trong tam giác vuông  BEK ta có :  EB > BK Mà BK=KA ; KA=AC=> BK=AC Hay EB>ACd) Ta có : ba đường cao BD;EK;CA luôn đồng quy tại một điểm theo tính chấtnên ba đường thẳng AC;BD;KE cùng đi qua 1 điểm