Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác :
CM: 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) >= 1/a + 1/b +1/c

mình viết vầy cho nhanh ,mong các bạn thông cảm và làm giùm nhé

Answer 1

Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z ( x,y,z > 0 vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác )
=> b = (x+y)/2
a= (x+z)/2
c= (y+z)/2
Khi đó BĐT cần CM trở thành:
1/x + 1/y + 1/z >= 2/(x+y) + 2/(y+z) + 2/(z+x)
ÁP dụng BĐT Cô-si có
1/x + 1/y >= 2.căn xy
x+y >= 2 căn xy
Do đó (1/x+1/y) . ( x+y ) >= 4
=> 1/x + 1/y >= 4/(x+y)
Tương tự 1/y + 1/z >= 4/(y+z)
1/z + 1/x >= 4/(x+z)
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được
2/x + 2/y + 2/z >= 4/(x+y) + 4/(y+z) + 4/(z+x)
=> 1/x + 1/y + 1/z >= 2/(x+y) + 2/(y+z) + 2/(z+x)
Vậy BĐT ban đầu được CM.
Dấu = xảy ra khi x=y=z <=> a=b=c <=> Tam giác đã cho là tam giác đều